Le calcul mental en mathématiques : quels potentiels pour l'activité mathématique ?

RÉSUMÉ

Le but de cet article est d'illustrer le potentiel du calcul mental pour promouvoir l'activité mathématique des élèves. Cette exploration est basée sur l'analyse des stratégies déployées par les élèves pour résoudre des tâches mathématiques sans papier-crayon autour du concept de moyenne. Contrairement aux analyses habituelles, le potentiel du calcul mental n'est pas regardé sous l'angle des retombées à long terme de ce dernier sur la pratique mathématique des élèves, mais plutôt sur l'activité mathématique en train de se faire, dans son ici et maintenant. Les analyses conduites mettent de l'avant deux types de potentiels, non seulement le potentiel mathématique du calcul mental pour faire émerger des stratégies mathématiques pour résoudre les problèmes, mais aussi le potentiel de ces stratégies elles-mêmes pour ouvrir vers d'autres notions mathématiques et permettre des extensions.

ABSTRACT

The objective of this article is to illustrate the potential for mental calculation to promote students' mathematical activity. This study analyzes the strategies generated by students to resolve mathematical tasks related to the concept of averages without using pencil and paper. Unlike in typical studies, the potential of mental calculation is not examined in terms of its long-term effects on students' mathematical practices; rather, the focus is on its impact on mathematical activity as it is carried out, in the here and now. The analysis conducted proposes two types of potential: first, the potential for mental calculation to generate mathematical strategies for problem-solving, and second, the potential for these same strategies to open toward other mathematical notions and create extensions.

Notes

1. Les limites d'espace empêchent la présentation de l'enaction (voir Maturana, 1987, 1988; Maturana et Varela, 1992; Varela, Thompson et Rosch, 1991) en tant que background theory (Assude et al., 2008; Mason et Waywood, 1996) qui oriente ce programme de recherche au niveau de la résolution de problèmes et de l'activité mathématique en contexte de calcul mental. L'ancrage conceptuel de ce projet insiste sur une vision émergente du déploiement des stratégies de résolution en calcul mental (voir Proulx, 2013a) et sur la nature productrice de l'activité mathématique sous l'angle du faire|mathématique (Maheux et Proulx, 2014, 2015).

2. Thompson (2009) ne définit toutefois pas ce qu'il entend par mental mathematics, et affirme uniquement que les mental calculations sont un « subset of mental mathematics ».

3. Toutes les tâches ont été développées et choisies par les membres de l'équipe de recherche. Les sources sont toutefois diverses. Certaines sources sont connues directement, et mentionnées, mais la plupart des tâches ont été construites sur la base d'une combinaison d'idées des membres de l'équipe et des diverses tâches accumulées au fil des années comme enseignants dans le milieu scolaire et/ou comme formateurs d'enseignants. En ce sens, les sources des tâches ne peuvent pas toujours être fournies explicitement (sans toutefois affirmer les avoir créées nous-mêmes de toutes pièces).

4. Des analyses conceptuelles, pour la majorité des domaines mathématiques travaillés, ont déjà été développées dans le cadre d'autres travaux. La disponibilité d'analyses conceptuelles par l'équipe de recherche influence grandement le choix du domaine de recherche lors des discussions avec l'enseignant de la classe.

5. Cette notion mérite d'être relativisée, tel que l'ont souligné deux des arbitres, car bien qu'elle soit porteuse de beaucoup d'informations, la moyenne ne permet pas de conserver toute l'information de la distribution.

6. D'autres perspectives sont possibles, soit une conception de la moyenne comme relation algorithmique ou comme acte calculatoire (Batanero et al., 1994; Roth Leon et Zawojewski, 1990) ou encore, tel que l'a soulevé un des arbitres, dans le cadre probabiliste sous la désignation « espérance ». Voir aussi Mokros et Russell (1995) pour différents sens possibles de la moyenne.

7. Dans cet article, une procédure se définit comme étant une démarche pré-établie, souvent à suivre par étapes, et qui permet d'obtenir une réponse correcte suite à l'exécution de ces étapes. Le sens donné ici à l'expression « procédure » est le même que celui fréquemment donné à l'expression « algorithme », tel que Bass (2003) le définit : « An algorithm consists of a precisely specified sequence of steps that will lead to a complete solution for a certain class of computational problems » (p. 323). En ce sens, les deux expressions peuvent être vues comme étant des synonymes. Bass (2003) ajoute aussi que ceux-ci sont fiables, généraux, efficaces, simples à utiliser et transparents. Toutefois, l'expression procédure a été ici privilégiée dans le but d'éviter la confusion possible avec l'algorithme dit traditionnel pour calculer la moyenne arithmétique, algorithme auquel ce travail réfère par endroits.

8. Source Statistique Canada : http://www.statcan.gc.ca/tables-tableaux/sum-som/l02/cst01/famil50a-fra.htm

9. L' expression « stratégie », en contexte de calcul mental, est prise au sens de Threlfall (2002, 2009), c'est-à-dire comme le chemin pris pour résoudre une tâche mathématique. Elles peuvent relever de procédures connues, mais sont aussi idiosyncratiques, déployées sur le champ par l'élève (voir Proulx, 2013a et Proulx et al., 2017 pour une conceptualisation plus approfondie du phénomène en contexte de calcul mental).

10. La vision de la statistique se situe ici à l'intérieur du cadre scolaire, donc dans sa composition mathématique, avec des tâches qui se prêtent bien au calcul mental. Tel que souligné par un des arbitres, ceci peut être perçu comme une vision réductrice de ce qu'est la statistique comme discipline. Toutefois, ce lien entre mathématiques et statistique au niveau scolaire est fréquent en didactique des mathématiques (voir par exemple le travail de Vermette, 2017, sur les pratiques d'enseignement).

11. C' est pour cette raison que l'analyse des stratégies des élèves pour résoudre les tâches ne se place pas dans le cadre de l'ingénierie didactique avec ses analyses a priori et a posteriori sur ce que les élèves déploient dans l'activité (Artigue, 1988). En effet, tel qu'expliqué, l'analyse n'est pas conduite dans le but de comprendre les stratégies en soi, mathématiquement pour elles-mêmes, mais plutôt pour investiguer, illustrer et conceptualiser le potentiel que le contexte de calcul mental peut offrir pour l'activité mathématique des élèves.

12. Les stratégies choisies pour fins d'analyse l'ont été dans le but d'ouvrir vers d'autres potentialités et éviter les redondances inutiles suite à l'analyse des stratégies pour la Tâche 3.

13. Le continuum est ici au niveau mathématique des concepts travaillés et non au niveau de la compréhension des élèves ou de l'avancement de leurs connaissances, qui pour certaines théories (Bachelard, 1938; Piaget, 1937) fonctionne par ruptures, sauts et/ou obstacles et leur dépassement.

14. Voir la note 10 concernant le fait que cette vision de la statistique se situe à l'intérieur du cadre scolaire.

Additional information

Funding

Fonds de recherche du Québec – société et culture : 164724. Social Sciences and Humanities Research Council of Canada: 435-2014-1376.